Question

8．坐標系與參數(shù)方程已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸半軸為極軸）中直線l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求曲線C在極坐標系中的方程；
（2）求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）把曲線C的參數(shù)方程利用同角三角函數(shù)的基本關系消去參數(shù)θ，化為普通方程，再根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，化為極坐標方程．
（2）把直線和圓的直角坐標方程聯(lián)立方程組，求得交點的坐標，再利用兩點間的距離公式求得弦長．

解答 解：（1）曲線C的普通方程為（x-2）²+y²=4，
即x²+y²-4x=0，將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入方程x²+y²-4x=0化簡得ρ=4cosθ．
所以，曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ．
（2）∵直線l的直角坐標方程為x+y-4=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-4x=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.$得直線l與曲線C的交點坐標為A（2，2），B（4，0），
所以弦長|AB|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，求直線和圓的交點坐標，兩點間的距離公式的應用，屬于基礎題．