Question

設函數(shù)f（x）=（1-x）e^x-1．
（1）證明：當x＞0時，f（x）＜0；
（2）設a₁=1，a_nean+1=ean-1，證明對任意的正整數(shù)n，總有a_n+1＜a_n．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明當x＞0時，f（x）＜0；
（2）首先用數(shù)學歸納法證明a_n＞0，再結(jié)合ean-1＜a_nean，即可證明a_n+1＜a_n．

解答： 證明：（1）因為f（x）=（1-x）e^x-1，
所以f′（x）=-e^x+（1-x）e^x=-xe^x，
當x＞0時，f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
因此f（x）＜f（0）=0．                               …2分
（2）首先用數(shù)學歸納法證明a_n＞0．
①當n=1時，a₁=1＞0，∴a_n＞0成立．
②假設n=k時，a_k＞0．
那么當n=k+1時，a_nean+1=ean-1，則eak+1=

eak-1

ak

，…4分
當x＞0時，由不等式e^x-1＞x得

ex-1

x

＞1．
所以eak+1＞1，a_k+1＞0．
由①②可知對任意的正整數(shù)n，總有a_n＞0．
由（1）知（1-a_n）ean-1＜0，所以ean-1＜a_nean．
由a_nean+1=ean-1知a_nean+1＜a_nean，所以a_n+1＜a_n．         …10分．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查數(shù)學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．