Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x）e^x-1．
（1）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0；
（2）設(shè)a₁=1，a_nean+1=ean-1，證明對(duì)任意的正整數(shù)n，總有a_n+1＜a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0；
（2）首先用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n＞0，再結(jié)合ean-1＜a_nean，即可證明a_n+1＜a_n．

解答： 證明：（1）因?yàn)閒（x）=（1-x）e^x-1，
所以f′（x）=-e^x+（1-x）e^x=-xe^x，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
因此f（x）＜f（0）=0．                               …2分
（2）首先用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n＞0．
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1＞0，∴a_n＞0成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，a_k＞0．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a_nean+1=ean-1，則eak+1=

eak-1

ak

，…4分
當(dāng)x＞0時(shí)，由不等式e^x-1＞x得

ex-1

x

＞1．
所以eak+1＞1，a_k+1＞0．
由①②可知對(duì)任意的正整數(shù)n，總有a_n＞0．
由（1）知（1-a_n）ean-1＜0，所以ean-1＜a_nean．
由a_nean+1=ean-1知a_nean+1＜a_nean，所以a_n+1＜a_n．         …10分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．