Question

設(shè)橢圓的左，右焦點為F₁，F(xiàn)₂，（1，）為橢圓上一點，橢圓的長半軸長等于焦距，曲線C是以坐標(biāo)原點為頂點，以F₂為焦點的拋物線，自F₁引直線交曲線C于P，Q兩個不同的交點，點P關(guān)于x軸的對稱點記為M，設(shè)．
（1）求橢圓方程和拋物線方程；
（2）證明：；
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，列方程求解；（2）因為，所以y₁=λy₂，要證，只需證明
x₁-1═-λ（x₂-1）由直線和拋物線聯(lián)立可得x₁x₂=1，故只需證明x₁=λ，x₂=，這個結(jié)論由聯(lián)立式和向量式可得；（3）只需將|PQ|表示為關(guān)于λ的函數(shù)，求函數(shù)最值即可．
解答：解：（1）依題意，，又a²=b²+c²，解得，故橢圓方程為
∵F₂（1，0），設(shè)拋物線方程為y²=2px，則，p=2，故拋物線方程為y²=4x
（2）∵F₁（-1，0），設(shè)過此點的直線方程為y=kx+k，并設(shè)p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則M（x₁，-y₁）
由得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，△＞0時，x₁x₂=1 （1）
又∵，∴x₁+1=λ（x₂+1）（2），y₁=λy₂
由（1）（2）得，x₁=λ，x₂=
=（x₁-1，-y₁）=（λ-1，-y₁）
=-λ（x₂-1，y₂）=（λ-1，-λy₂）
故
（3）由（2）知 可取 P（λ，），Q（，），則|PQ|==
∵λ∈[2，3]，∴，∴|PQ|∈（ ，）
故|PQ|∈（，）
點評：此題綜合考查了橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的關(guān)系，特別是與向量的結(jié)合，是問題具有一定難度．