Question

12．已知三個數a-1，a+1，a+5成等比數列，其倒數重新排列后恰好為遞增的等比數列{a_n}的前三項，則能使不等式a₁+a₂+…+a_n≤$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$成立的自然數n的最大值為（　�。�

• A． 5
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 求出數列的前n項和，根據不等式之間的關系即可得到結論．

解答 解：∵三個數a-1，a+1，a+5成等比數列，
∴（a+1）²=（a-1）（a+5），
∴a=3，
倒數重新排列后恰好為遞增的等比數列{a_n}的前三項，為$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，公比為2
數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以8為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數列．
則不等式a₁+a₂+…+a_n≤$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$等價為$\frac{\frac{1}{8}（1-{2}^{n}）}{1-2}$≤$\frac{8（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
整理，得2ⁿ≤2⁷，
∴1≤n≤7，n∈N₊．
故選：B．

點評 本題主要考查等比數列的通項公式和前n項和的應用，考查數列與不等式的應用，綜合性較強，運算量較大．