Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)?n∈N^*有2S_n=a_n²+a_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

1

an an+1 +an+1 an

，設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T₁，T₂，T₃，…，T₁₀₀中有理數(shù)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式可得a_n-a_n-1=1．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由（1）可得：a_n=n，可得b_n=

1

n n+1 +(n+1) n

=

n

n

-

n+1

n+1

，利用“裂項(xiàng)求和”可得：{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=1-

n+1

n+1

，根據(jù)n+1必定是平方數(shù)即可得出．

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n²+a_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a1=

a

2 1

+a1，解得a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=

a

2 n-1

+an-1，2an=

a

2 n

+an-(

a

2 n-1

+an-1)，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，∵?n∈N^*有a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴a_n=n．

（2）b_n=

1

an an+1 +an+1 an

=

1

n n+1 +(n+1) n

=

n

n

-

n+1

n+1

，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=(1-

2

2

)+(

2

2

-

3

3

)+…+(

n

n

-

n+1

n+1

)
=1-

n+1

n+1

，
∴T₁，T₂，T₃，…，T₁₀₀中只有取n=3，8，15，24，35，48，63，80，99時(shí)，T_n才為有理數(shù)．
∴T₁，T₂，T₃，…，T₁₀₀中有理數(shù)的個(gè)數(shù)為9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、平方數(shù)，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．