Question

（1）在（x-

2

）²⁰⁰⁴的二項式中，含x的奇次冪的項之和為S，當x=

2

時，求S．
（2）已知（x²-

i

x

）ⁿ的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為-

3

14

，求展開式中常數(shù)項．
（3）若多項式x²+x¹⁰=a₀+a₁（x+1）+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，求a₉．

Answer 1

考點：二項式定理的應用,二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,二項式定理

分析：（1）利用二項式定理將二項式展開，令x分別取

2

，-

2

得到兩個等式，兩式相減，化簡即可求s的值；
（2）利用二項展開式的通項公式求出展開式中第三項與第五項的系數(shù)，列出方程求出n；利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為0求出常數(shù)項；
（3）先求x¹⁰的系數(shù)，再由a₉+C₁₀⁹•a₁₀，可求x⁹的系數(shù)，即可得答案．

解答： 解：（1）設（x-

2

）²⁰⁰⁶=a₀x²⁰⁰⁶+a₁x²⁰⁰⁵+…+a₂₀₀₅x+a₂₀₀₆；
則當x=

2

時，有a₀（

2

）²⁰⁰⁶+a₁（

2

）²⁰⁰⁵+…+a₂₀₀₅（

2

）+a₂₀₀₆=0①，
當x=-

2

時，有a₀（

2

）²⁰⁰⁶-a₁（

2

）²⁰⁰⁵+…-a₂₀₀₅（

2

）+a₂₀₀₆=2³⁰⁰⁹②，
①-②有a₁（

2

）²⁰⁰⁵+…+a₂₀₀₅（

2

）=-2³⁰⁰⁹÷2=-2³⁰⁰⁸；
（2）第三項的系數(shù)為-

C

2 n

，第五項的系數(shù)為

C

4 n

，由第三項與第五項的系數(shù)之比為-

3

14

可得n=10，則Tr+1=

C

r 10

(x2)10-r(-

i

x

)r=(-i)r

C

r 10

x

40-5r

2

，
令40-5r=0，解得r=8，故所求的常數(shù)項為(-i)8

C

8 10

=45；
（3）x¹⁰的系數(shù)為a₁₀，∴a₁₀=1，x⁹的系數(shù)為a₉+C₁₀⁹•a₁₀，∴a₉+10=0，∴a₉=-10．

點評：本題主要考查二項式定理的運用，二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．