Question

已知實數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，其中a₇=1，且a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)m，使得當(dāng)n＞m時，|a_n|＜

1

2014

恒成立？若存在，求出m的值構(gòu)成的集合．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a₇=1，且a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列，建立方程，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用數(shù)列的通項建立不等式，即可求出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠0），
由a₇=a₁q⁶=1，得a₁=q^-6，
從而a₄=a₁q³=q^-3，a₅=a₁q⁴=q^-2，a₆=a₁q⁵=q^-1．…（3分）
因為a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列，所以a₄+a₆=2（a₅+1），
即q^-3+q^-1=2（q^-2+1），q^-1（q^-2+1）=2（q^-2+1）．
所以q=

1

2

．故a_n=a₁q^n-1=q^-6•q^n-1=64×（

1

2

）^n-1．…（6分）
（Ⅱ）由|a_n|=64×（

1

2

）^n-1＜

1

2014

得2^n-1＞2014×2⁶，而2¹⁰＜2014＜2¹¹，…（10分）
故n-1＞16，即n＞17．
故m≥17，當(dāng)n＞m時，|a_n|＜

1

2014

恒成立．
所求m的值構(gòu)成的集合為{m|m≥17，m∈Z}．      …（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．