Question

若關(guān)于x的不等式a（x²+x+4）≥|x|對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,分類討論,不等式的解法及應用

分析：易判斷x²+x+4＞0，從而原不等式可化為a≥

|x|

x2+x+4

⇒a≥(

|x|

x2+x+4

)max，分x=0、x＞0、x＜0三種情況進行討論，可分別求得a的范圍，最后對a取交集．

解答： 解：∵x²+x+4=(x+

1

2

)2+

15

4

＞0，
∴由a（x²+x+4）≥|x|，得
a≥

|x|

x2+x+4

⇒a≥(

|x|

x2+x+4

)max，
當x=0時，

|x|

x2+x+4

=0，此時只需a≥0；
當x＞0時，

|x|

x2+x+4

=

1

x+ 4 x +1

≤

1

2 x• 4 x +1

=

1

5

，當且僅當x=2時取等號，
此時a≥

1

5

；
當x＜0時，

|x|

x2+x+4

=

1

-x- 4 x -1

≤

1

2 (-x)• 4 -x -1

=

1

3

，當且僅當x=-2時取等號，
此時a≥

1

3

；
綜上，a≥

1

3

．
故答案為：[

1

3

，+∞）．

點評：本題考查恒成立問題，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，注意不等式求最值的條件：一正、二定、三相等．