Question

已知向量

a

=（cosα，1），

b

=（-2，sinα），α∈(π，

3π

2

)，且

a

⊥

b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)

a

⊥

b

等價(jià)于

a

•

b

=0，得到角α正余弦之間的關(guān)系，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得sinα的值．
（2）先根據(jù)（1）中結(jié)果求出cosα的值，進(jìn)而可得tanα的值，再由兩角和與差的正切公式得到最好答案．

解答：解：（Ⅰ）由向量

a

=（cosα，1），

b

=（-2，sinα），α∈(π，

3π

2

)，且

a

⊥

b

．
得

a

•

b

=（cosα，1）•（-2，sinα）=0．
即-2cosα+sinα=0．
所以cosα=

1

2

sinα．
因?yàn)閟in²α+cos²α=1，
所以sin2α=

4

5

．
因?yàn)?span id="o9uifio" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">α∈(π，

3π

2

)，
所以sinα=-

2 5

5

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-

5

5

．
則tanα=2.tan(α+

π

4

)=

tanα+1

1-tanα

=-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的運(yùn)算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和與差的正切公式．考查綜合運(yùn)用能力．