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已知函數f（x）=x|x-2|，x∈R．
（1）求不等式-3＜f（x）＜3的解集；
（2）設f（x）在[0，a]上的最大值為g（a），若g(a)＜a+
14
，求正實數a的取值范圍．
分析：（1）通過分類討論直接求解不等式的解集即可．
（2）求出函數在[0，a]上的最大值為g（a）的表達式，利用g(a)＜a+
1
4
得到不等式求解即可．
解答：解：（1）由題意不等式-3＜f（x）＜3，化為不等式-3＜x|x-2|＜3，
當x＜2時，不等式為：-3＜2x-x2＜3，即
-3＜2x-x2
2x-x2＜3
，
解得-1＜x＜2；
當x≥2時，不等式-3＜x|x-2|＜3為：-3＜x2-2x＜3，即
-3＜-2x+x2
x2-2x＜3
，
解得：2≤x＜3；
綜上不等式的解集為：{x|-1＜x＜3}．
（2）函數f（x）=x|x-2|=
x2-2x    x＞2
2x-x2     x≤2
，
函數f（x）在[0，a]上的最大值為g（a）=
2a-a2   0≤a≤1
1         1＜a≤1+
2
a2-2a    a＞1+
2
 
，
由g(a)＜a+
1
4
，可得：0＜a≤2時，2a-a2＜a+
1
4
，解得：0＜a≤2且a≠
1
2
；
1＜a≤1+
2
時，1＜a+
1
4
，解得：1＜a≤1+
2
，
a≥1+
2
時，a2-2a＜a+
1
4
，解得a＞
3+
10
2
；
綜上a的取值范圍是：{a|0＜a＜
1
2
或1＜a≤1+
2
或a＞
3+
10
2
}
點評：本題考查絕對值不等式的解法，函數與分的綜合應用，函數的最大值的求法，考查分類討論思想的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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