已知函數f(x)=x3+px2+qx的圖象與x軸切于非原點的一點,且f(x)的一個極值為-4
(1)求p、q的值,并求出f(x)的單調區(qū)間;
(2)若關于x的方程f(x)=t有3個不同的實根,求t的取值范圍;
(3)令g(x)=f′(ex)+x-(t+12)ex,是否存在實數M,使得t≤M時g(x)是單調遞增函數.若存在,求出M的最大值,若不存在,說明理由.
分析:(1)根據函數求導公式求函數導數,判斷函數的單調性,畫圖,根據圖表判斷函數的單調性.
(2)根據函數有3個不同的實根,判斷函數極值的正負,函數的圖象應與x軸有三個交點,所以根據函數圖象的大致走向判斷極值,判斷t的取值范圍..
(3)先求出導數,判斷函數的單調性,再利用恒成立問題求最值,用到均值不等式.
解答:解:(1)設切點(a,0)(a≠0),f(x)=x(x
2+px+q)
由題意得:方程x
2+px+q=0有兩個相等實根a
故可得f(x)=x(x-a)
2=x
3-2ax
2+a
2x(2分)f'(x)=3x
2-4ax+a
2=(x-a)(3x-a)
∵f'(a)=0≠-4,∴
f()=-4(3分)
于是
•(-a)2=-4,∴a=-3
∴f(x)=x
3+6x
2+9x∴p=6,q=9(4分)f'(x)=(x+3)(3x+3)
x |
(-∞,-3) |
-3 |
(-3,-1) |
1 |
(-1,+∞) |
f'(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↗ |
極大 |
↘ |
極小 |
↗ |
∴f(x)的單調遞增區(qū)間是:(-∞,-3),(-1,+∞)
單調遞減區(qū)間是:(-3,-1)(6分)
(2)由(1)知f(x)在x=-3處取得極大值f(-3)=0,在x=-1處取得極小值f(-1)=-4
作f(x)的大致形狀及走向如圖所示:易知當t∈(-4,0)時,f(x)=t有3個不同的實根.(9分)
(3)g(x)=f'(e
x)+x-(t+12)e
x=3e
2x+12e
x+9+x-(t+12)e
x=3e
2x-te
x+x+9g'(x)=6e
2x-te
x+1(11分)
若g(x)在R上遞增,即g'(x)≥0,當x∈R恒成立(12分)
即
t≤6ex+(當x∈R時恒成立)(13分)
由于
6ex+≥2,當且僅當
6ex=,即
x=ln時取到
∴
t≤2(14分)
∴M最大值為
2(15分)
點評:該題考查函數的求導,考查利用恒成立問題求最值,屬簡單題.注意解答過程中要有圖表,根據圖表判斷函數的單調性