Question

若R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當時，，則方程在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)根之和為（   ）

A．4020

B．4022

C．4024

D．4026

Answer 1

B

解析試題分析：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數(shù)，∴f（x+2）=f（-x）=-f（x）,∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，,又定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，,∵f（x）=f（0）+,∴f（x）=,∵0＜x≤1時，f（x）=log₂x≤0，∴f（x）=在（0，1）內(nèi)沒有一實根，在（-1，0）內(nèi)有一實數(shù)根x₁,又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，∴f（x）=在（2，3）有一個實根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）的周期為4，當2010＜x＜2012時，函數(shù)的圖象與2＜x＜4的圖象一樣,∴原方程在區(qū)間（2010，2012）內(nèi)的實根有2個，設(shè)為a，b，則=2011∴a+b=4022,故選B
考點：本題主要考查根的存在性及根的個數(shù)判斷及奇偶函數(shù)圖象的對稱性，關(guān)鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結(jié)合0＜x≤1時，f（x）=log₂x與奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，數(shù)形結(jié)合予以解決，屬于中檔題.
點評：解決該試題的關(guān)鍵是由奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱可得f（x+4）=f（x），再利用f（0）=0，及0＜x≤1時，f（x）=log₂x，數(shù)形結(jié)合，可求得方程f（x）=+f（0）=在區(qū)間（2010，20121）內(nèi)的所有實根之和．