Question

【題目】如圖，在四棱錐中，直線平面，.

（1）求證：直線平面.

（2）若直線與平面所成的角的正弦值為，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）證明線面垂直，一般多次利用線面垂直判定定理及性質(zhì)定理，經(jīng)多次線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化進(jìn)行論證：在線線垂直論證與尋找時，要注意利用平面幾何的條件，如本題就利用兩三角形相似，得到，再根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理將條件平面轉(zhuǎn)化為線線垂直：，最后根據(jù)線面垂直判定定理得平面（2）線面角找射影，由（1）知直線在平面上射影為（為與交點），則是直線與平面所成的角，二面角的作法，往往結(jié)合三垂線定理：作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角，最后結(jié)合對應(yīng)三角形求角的三角函數(shù)值.本題也可建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行論證、求解.

試題解析：

法一：（1）

取中點，連接，則，

∴四邊形是平行四邊形，∴.

∵直角和直角中，，∴直角直角，易知，

∴

又∵平面，∴

而，∴平面，得證

（2）由，知，∵，∴，

設(shè)交于，連接，則是直線與平面所成的角，

，∴，而故

作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角

∵，∴，而，

∴，∴，∴，即二面角的平面角的余弦值為

法二：

（1）∵平面，∴，又∵，故可建立如圖所示坐標(biāo)系

由已知，∴，∴

∴，∴平面

（2）由（1），平面的一個法向量是，

設(shè)直線與平面所成的角為，∴，，

∵，∴，即

設(shè)平面的一個法向量為，

由，∴，令，則

∴

顯然二面角的平面角是銳角，

∴二面角的平面角的余弦值為