已知向量
a
與
b
滿足：|
a
|=4，|
b
|=3，（2
a
+3
b
）•（2
a
-
b
）=61．
（Ⅰ）求
a
•
b
的值；
（Ⅱ）求向量
a
與
b
的夾角；
（Ⅲ）求|
a
-
b
|的值．
分析：（Ⅰ）由（2
a
+3
b
）•（2
a
-
b
）=61得，4
a
2+4
a
•
b
-3
b
2=61將|
a
|=4，|
b
|=3，代入即可求得兩向量的內積；
（Ⅱ）由公式cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
求出向量
a
與
b
的夾角余弦，再由出對應的角；
（Ⅲ）先求出（
a
-
b
）2=
a
2-2
a
•
b
+
b
2=13，再開方求出兩向量差的模．
解答：解：（Ⅰ）由（2
a
+3
b
）•（2
a
-
b
）=61得，4
a
2+4
a
•
b
-3
b
2=61．
又|
a
|=4，|
b
|=3，可得
a
•
b
=6．                    …（4分）
（Ⅱ）設向量
a
與
b
的夾角為θ，
則cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
6
4×3
=
1
2
，
可知向量
a
與
b
的夾角為60°．                    …（8分）
（Ⅲ）由（
a
-
b
）2=
a
2-2
a
•
b
+
b
2=13可得，|
a
-
b
|=
13
．…（12分）
點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算，解題的關鍵是熟練掌握數(shù)量積的公式及其運算性質，向量的角的數(shù)量積表示，本題是數(shù)量積運用的基本題型．考查了方程的思想，轉化的思想及運算變形的能力．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：吉林省長春二中2011-2012學年高一上學期期末考試數(shù)學試題 題型：044

已知向量a與b滿足|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝2

(1)求|3a－4b|；

(2)(a－2b)﹒(a＋b)

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆吉林省高一上學期期末考試數(shù)學 題型：解答題

. (本小題滿分12分)

已知向量a與b滿足｜a｜=4，｜b｜=2，且｜a+b｜=2

（1）求｜3a-4b｜；         （2） （a-2b）﹒（a+b）

 

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
a
與
b
滿足：|
a
|=4，|
b
|=3，（2
a
+3
b
）•（2
a
-
b
）=61．
（Ⅰ）求
a
•
b
的值；
（Ⅱ）求向量
a
與
b
的夾角；
（Ⅲ）求|
a
-
b
|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：河北省會考題 題型：單選題

已知向量a與b滿足|a|=1，|b|=8，且a·（b-a）=3，則a與b的夾角是

[     ]

A.
B.
C.
D.

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