Question

若函數(shù)y=f（x）對(duì)定義域的每一個(gè)值x₁，都存在唯一的x₂，使y=f（x₁）f（x₂）=1成立，則 稱此函數(shù)為“濱湖函數(shù)”．下列命題正確的是

②③

．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）
①y=

1

x2

是“濱湖函數(shù)”；
②y=

2

+sinx（x∈[-

π

2

，

π

2

]）I是“濱湖函數(shù)”；
③y=2^x是“濱湖函數(shù)”；
④y=lnx是“濱湖函數(shù)”；
⑤y=f（x），y=g（x）都是“濱湖函數(shù)”，且定義域相同，則y=f（x）g（x）是“濱湖函數(shù)”

Answer 1

分析：利用“濱湖函數(shù)”的定義，逐個(gè)分析①②③④⑤五個(gè)函數(shù)，能夠得到結(jié)果．

解答：解：對(duì)于①，對(duì)應(yīng)的x₁，x₂不唯一，
∴①不一定是“濱湖函數(shù)”；
對(duì)于②，函數(shù)y=

2

+sinx是[-

π

2

，

π

2

]上的單調(diào)增函數(shù)，
對(duì)[-

π

2

，

π

2

]內(nèi)的每一個(gè)值x1，

2

+sinx1∈[

2

-1，

2

+1]，

1

2 +sinx1

∈[

2

-1，

2

+1)，
∴在[-

π

2

，

π

2

]內(nèi)存在唯一的x₂，使

2

+sinx2=

1

2 +sinx1

∈[

2

-1，

2

+1]成立，
∴②是“濱湖函數(shù)”；
對(duì)于③，∵y=2^x，2^x•2^-x=1，
∴③是“濱湖函數(shù)”；
對(duì)于④，y=lnx有零點(diǎn)，∴④一定不是y=lnx“濱湖函數(shù)”；
對(duì)于⑤，∵y=f（x），y=g（x）都是“濱湖函數(shù)”，且定義域相同，
∴對(duì)于定義域中每一個(gè)x₁，都存在唯一的x₂，使y=f（x₁）f（x₂）=1和y=g（x₁）g（x₂）=1成立，
∵兩個(gè)x₂不一定相等，
∴y=f（x₁）g（x₁）•f（x₂）g（x₂）=1不一定成立，
∴⑤不是“濱湖函數(shù)”．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)的基本應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意理解“濱湖函數(shù)”的概念．