Question

【題目】已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

分析：首先，由的幾何意義，得到直線的斜率，然后，得到函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，從而得到f′（x）=＞1 在（1，2）內(nèi)恒成立．分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化成 a＞2x2+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．從而求解得到a的取值范圍．

詳解：∵的幾何意義為：

表示點（p+1，f（p+1）） 與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，

∵實數(shù)p，q在區(qū)間（0，1）內(nèi)，故p+1 和q+1在區(qū)間（1，2）內(nèi)．

不等式＞1恒成立，

∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，

故函數(shù)的導數(shù)大于1在（1，2）內(nèi)恒成立．

由函數(shù)的定義域知，x＞﹣1，

∴f′（x）=＞1 在（1，2）內(nèi)恒成立．

即 a＞2x2+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．

由于二次函數(shù)y=2x2+3x+1在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，

故 x=2時，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值為15，

∴a≥15

∴a∈[15，+∞）．

故選：A．