Question

【題目】如圖，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)C在平面A1B1C1內(nèi)的射影點(diǎn)為的A1B1中點(diǎn)O，AC=BC=AA1 ， ∠ACB=90°．
（1）求證：AB⊥平面OCC1；
（2）求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點(diǎn)C在平面 內(nèi)的射影點(diǎn)為A1B1的中點(diǎn)O，

∴CO⊥A1B1，∵AC=BC，∴A1C1=C1B1，

∵O為A1B1的中點(diǎn)，∴C1O⊥A1B1，

∵C1O∩CO=O，∴A1B1⊥平面CC1O，

∵A1B1∥AB，∴AB⊥平面CC1O．

（2）解：以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CO為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AC=1，則CC1=1，C1O= ，

∵∠COC1= ，∴CO= = ，

則C（0，0，0），C1（﹣ ， ），A（1，0，0），B（0，1，0），

∴ =（﹣ ， ）， =（1，0，0）， =（0，1，0），

設(shè)平面ACC1的法向量 =（x，y，z），

則 ，取y= ，得 =（0， ），

同理得平面BCC1的法向量 =（ ），

設(shè)二面角A﹣CC1﹣B的平面角為θ，

則cosθ= = ．

sinθ= = ，

∴二面角A﹣CC1﹣B的正弦值為 ．

【解析】（1）推導(dǎo)出CO⊥A1B1 ， A1C1=C1B1 ， C1O⊥A1B1 ， 從而A1B1⊥平面CC1O，再由A1B1∥AB，能證明AB⊥平面CC1O．（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CO為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題．