Question

實(shí)驗(yàn)表明，某型號(hào)的汽車每小時(shí)的耗油量y（升）與速度x（千米/小時(shí)）的關(guān)系式為y=3(

x3

903

-

x

80

+2)，已知甲乙兩地相距180千米，最高時(shí)速為V千米/小時(shí)．
（1）當(dāng)車速度x（千米/小時(shí)）時(shí)，從甲地到乙地的耗油量為f（x）（升），求函數(shù)f（x）的解析式并指出函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)車速為多大時(shí)，從甲地到乙地的耗油量最少？

Answer 1

分析：（1）由已知中每小時(shí)的耗油量y（升）與速度x（千米/小時(shí)）的關(guān)系式，甲乙兩地相距180千米，則當(dāng)車速度x（千米/小時(shí)）時(shí)，花費(fèi)的時(shí)間為

180

x

小時(shí)，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合甲乙兩地相距180千米，可得到函數(shù)的定義域；
（2）根據(jù)（1）中得到的函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合根據(jù)導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法和步驟，我們易確定出車速為多大時(shí)，從甲地到乙地的耗油量最少．

解答：解：（1）∵每小時(shí)的耗油量y（升）與速度x（千米/小時(shí)）的關(guān)系式為y=3(

x3

903

-

x

80

+2)，
甲乙兩地相距180千米，當(dāng)車速度x（千米/小時(shí)）時(shí)，
f（x）=

180

x

×y=540(

x2

903

-

1

80

+

2

x

)，x∈（0，V]…6分（2）∵f（x）=540(

x2

903

-

1

80

+

2

x

)，
∴f′（x）=540(

2x

903

-

2

x2

)
令f′（x）=0，解得x=90…8分
若V＜90，有f′（x）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，V）內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，所以車速為V（千米/小時(shí)）時(shí)，從甲地到乙地的耗油量最小；…11分
若V≥90，當(dāng)0＜x＜90時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)90＜x≤V時(shí)，f′（x）＞0，所以，當(dāng)x=90時(shí)，f（x）最�。�…14分
綜上：若V＜90，車速為V（千米/小時(shí)）時(shí)，從甲地到乙地的耗油量最�。蝗鬡≥90，車速為90（千米/小時(shí)）時(shí)，從甲地到乙地的耗油量最�。�…15

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，其中在建立函數(shù)模型時(shí)，由實(shí)際出發(fā)分析自變量的取值范圍（定義域）是應(yīng)用題的易忽略點(diǎn)，而（2）中要注意對(duì)V的取值進(jìn)行分類討論．