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19.已知方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1.
(1)當實數m取何值時,此方程分別表示圓、橢圓、雙曲線?
(2)若命題q:實數m滿足方程 $\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦點在y軸上的橢圓;命題p:實數m滿足m2-7am+12a2<0(a<0),且非q是非p的充分不必要條件,求a的取值范圍.

分析 (1)方程表示圓時:分母相等且為正;表示橢圓時:分母為正且不等;表示雙曲線時:分母異號
(2)方程表示焦點在y軸上的橢圓時:在表示橢圓的基礎上還要2-m>m-1,“非q是非p的充分不必要條件”轉化為“p是q的充分不必要條件”

解答 解:(1)因為方程表示圓時,m-1=2-m>0,即$m=\frac{3}{2}$,所以當$m=\frac{3}{2}$時,此方程表示圓.
因為方程表示橢圓時,$\left\{\begin{array}{l}{m-1>0}\\{2-m>0}\\{m-1≠2-m}\end{array}\right.$ 即$m∈(1,\frac{3}{2})∪(\frac{3}{2},2)$,所以當$m∈(1,\frac{3}{2})∪(\frac{3}{2},2)$時,此方程表示橢圓.
因為方程表示雙曲線時,(m-1)(2-m)<0,即m<1或m>2,所以當m<1或m>2時,此方程表示雙曲線.
(2)由${m}^{2}-7am+12{a}^{2}<0\\;\\;(a>0)$ (a>0),則3a<m<4a,即命題p:3a<m<4a
由$\frac{{x}^{2}}{m-1}+\frac{{y}^{2}}{2-m}=1$表示焦點在y軸上的橢圓可得:2-m>m-1>0,即$1<m<\frac{3}{2}$,所以命題q:$1<m<\frac{3}{2}$
由非q為非p的充分不必要條件,則p是q的充分不必要條件,從而有:
$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$ 即$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{8}$

點評 (1)本小題主要考查圓錐曲線的共同特征,圓、橢圓、雙曲線的方程特征是解題的關鍵,屬于基礎題
(2)本小題考查了兩點:第一點考查焦點在y軸上的橢圓的方程特征,第二點考查充要條件的簡單應用.本題的關鍵是利用轉化思想,將“非q是非p的充分不必要條件”轉化為“p是q的充分不必要條件”,也屬于基礎題.

練習冊系列答案
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