Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
（1）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，求證：$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；
（2）設(shè)c=（0，1），若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=c，求α，β的值．

Answer 1

分析 （1）由向量的平方即為模的平方，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合向量垂直的條件，即可得證；
（2）先求出$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的坐標(biāo)，根據(jù)條件即可得到$\left\{\begin{array}{l}cosα=-cosβ\\ sinα=1-sinβ.\end{array}$，兩邊分別平方并相加便可得到sinβ=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而得到sinα=$\frac{1}{2}$，根據(jù)條件0＜β＜α＜π即可得出α，β．

解答 解：（1）證明：由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，即（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=2，
又因?yàn)?\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow$²=|$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow$|²=1．
所以2-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
故$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；
（2）因?yàn)?\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0，1），
所以$\left\{\begin{array}{l}cosα+cosβ=0\\ sinα+sinβ=1.\end{array}$，
即$\left\{\begin{array}{l}cosα=-cosβ\\ sinα=1-sinβ.\end{array}$，
兩邊分別平方再相加得1=2-2sinβ，
∴sinβ=$\frac{1}{2}$，sinα=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜β＜α＜π，
∴α=$\frac{5π}{6}$，β=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量坐標(biāo)的加法、減法運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，以及根據(jù)三角函數(shù)值求角．