Question

二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和一次函數(shù)g（x）=-bx，其中a、b、c滿足a＞b＞c，a+b+c=0（a、b、c∈R）．
（1）求證：兩函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（2）求證：方程f（x）-g（x）=0的兩根均小于2．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證兩個(gè)函數(shù)交于不同的兩點(diǎn)，只需把兩個(gè)解析式聯(lián)立起來(lái)證明根的判別式大于零即可；
（2）方程f（x）-g（x）=0得到方程為一元二次方程設(shè)出兩解，利用公式法求出兩解，判斷其小于2即可；
解答：解：（1）聯(lián)立兩個(gè)解析式的：得到ax²+bx+c=-bx即ax²+2bx+c=0，由于a+b+c=0，解得b=-a-c
則△=4b²-4ac=4（-a-c）²-4ac=4a²+4c²+4ac＞0
所以兩函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；
（2）由方程f（x）-g（x）=0得：ax²+bx+c-（-bx）=0即ax²+2bx+c=0
∵由（1）得△=4b²-4ac＞0 則方程有兩個(gè)不同的解設(shè)為x₁和x₂，
兩解==，又因?yàn)閍+b+c=0可得：兩解-2=＜0
所以方程f（x）-g（x）=0的兩根均小于2得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用．