Question

已知經(jīng)過點P（0，2）且以

d

=(1，a)為一個方向向量的直線l與雙曲線3x²-y²=1相交于不同兩點A、B．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若點A、B均在已知雙曲線的右支上，且滿足

OA

•

OB

=0，求實數(shù)a的值；
（3）是否存在這樣的實數(shù)a，使得A、B兩點關于直線y=

1

2

x-8對稱？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為直線l經(jīng)過點P（0，2）且以

d

=(1，a)為一個方向向量，所以可寫出點斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立，因為直線與雙曲線相交于不同兩點，利用韋達定理，即可求出實數(shù)a的取值范圍．
（2）若點A、B均在已知雙曲線的右支上，則（1）中直線與雙曲線聯(lián)立得到的關于x的一元二次方程有兩正根，除滿足△≥0外，還需滿足兩根之和大于0，兩根之積大于0，把a的范圍進一步縮小，再由

OA

•

OB

=0，求出a值．
（3）先假設存在實數(shù)a，使得A、B兩點關于直線y=

1

2

x-8對稱，則直線y=

1

2

x-8為線段AB的垂直平分線，直線l的法向量與直線y=

1

2

x-8的法向量互相垂直，得到a的值，再求出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求出A，B點的中點M坐標，判斷M點是否再直線y=

1

2

x-8，若在，則假設成立，否則，假設不成立．

解答：解：（1）由已知，直線l的方程為  y=ax+2．
由  

y=ax+2 3x2-y2=1

消去y，并整理得  （3-a²）x²-4ax-5=0．①
依題意得     

3-a2≠0 △＞0

解得 -

15

＜a＜

15

且a≠

3

且a≠-

3

．②
因此  所求的實數(shù)a的取值范圍為   (-

15

，-

3

)∪(-

3

，

3

)∪(

3

，

15

)．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．因為點A、B均在已知雙曲線的右支上，
所以 （1）中方程①具有兩個不同的正實數(shù)根x₁、x₂，即x₁＞0、x₂＞0，
于是     

△=(-4a)2+20(3-a2)＞0 x1+x2= 4a 3-a2 ＞0. x1x2=- 5 3-a2 ＞0.

解得 -

13

＜a＜-

3

．
又   

OA

•

OB

=0，即   （x₁，y₁）•（x₂，y₂）=0，即  x₁x₂+y₁y₂=0，
而  y₁y₂=（ax₁+2）（ax₂+2）=a²x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4，
所以  x₁x₂+a²x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4=0，即 （1+a²）x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4=0，
則   (1+a2)•(-

5

3-a2

)+2a•

4a

3-a2

+4=0，解得  a=±

7

．
又因為  -

13

＜a＜-

3

，所以  a=-

7

．
因此  所求實數(shù)a的值為  -

7

．
（3）假設存在實數(shù)a，使A、B兩點關于直線y=

1

2

x-8對稱，則直線y=ax+2與y=

1

2

x-8相互垂直．
因為直線y=ax+1與y=

1

2

x-8的一個法向量分別為為（a，-1）、（1，-2），由題意，向量（a，-1）、（1，-2）也相互垂直，即有  （a，-1）•（1，-2）=0，即 a+2=0，解得a=-2．（注：由直線y=ax+2與y=

1

2

x-8相互垂直得  a•

1

2

=-1，解得a=-2．這樣做也行．）
所以直線l的方程為y=-2x+2．
聯(lián)立方程組  

y=-2x+2 3x2-y2=1.

消去y，并整理得  x²-8x+5=0．
這里△=（-8）²-20=44＞0，且x₁+x₂=8，x₁x₂=-5，
所以

x1+x2

2

=4，則

y1+y2

2

=-2•(

x1+x2

2

)+2=-6．
設線段AB的中點為M，則  M（4，-6）．
由于AB中點M（4，-6）也在直線y=

1

2

x-8上，
因此  存在實a=-2，可使A、B兩點關于直線y=

1

2

x-8對稱．

點評：本題主要考查了韋達定理在直線與雙曲線位置關系判斷中的應用，注意設而不求思想的應用．