Question

設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內．
（此題不要求在答題卡上畫圖）
 

Answer 1

（I）依題意得解得 從而b=,………………………………………3分
故橢圓方程為．……………………………………………………………………4分
（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0），設．
點在橢圓上，．………………………………………………………        5分
又點異于頂點
由三點共線可得，…………………………………………………………………6分
從而．……………………………………………………………7分
，………………………………………………10分
將①式代入②式化簡得．…………………………………………………………12分
>0,>0.于是為銳角,從而為鈍角,
故點在以為直徑的圓內.………………………………………………………………………. 14分
解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設P（4，）（0），M（，），N（，），則直線AP的方程為，直線BP的方程為．…………………………….. 6分
點M、N分別在直線AP、BP上，
＝（＋2），＝（－2）.從而＝（＋2）（－2）.③
聯(lián)立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0………………8分
，－2是方程得兩根，（－2）．，即＝. ④
又．=（－2, ）．(－2,)＝（－2）（－2）＋.  ⑤………9分
于是由③、④式代入⑤式化簡可得
．＝（－2）…………………………………………………………     12分
N點在橢圓上，且異于頂點A、B，<0.
又，> 0, 從而．<0.
故為鈍角，即點B在以MN為直徑的圓內………………………………14分
解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（，），N（，），則－2<<2 , －2<<2.又MN的中點Q的坐標為（），………………………………………5分

化簡得－＝（－2）（－2）＋.            ⑥………………8分
直線AP的方程為，直線BP的方程為………………10分
點P在準線x＝4上，
，即.                      ⑦
又M點在橢圓上，＋＝1，即         ⑧……… 12分
于是將⑦、⑧式化簡可得－＝.
從而B在以MN為直徑的圓內…………………………………………………………………      14分