Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)M，與雙曲線交于點(diǎn)N（設(shè)M，N均在第一象限），當(dāng)直線MF₁與直線ON平行時(shí)，雙曲線的離心率取值為e₀，則e₀所在的區(qū)間為（　�。�

• A、（1，

  2

  ）
• B、（

  2

  ，

  3

  ）
• C、（

  3

  ，2）
• D、（2，3）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線的漸近線方程，與圓的方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)M，再與雙曲線的方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)N，再與兩直線平行的條件：斜率相等，得到方程，注意結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，得到e₀³+2e₀²-2e₀-2=0，令f（x）=x³+2x²-2x-2，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，判斷f（1），f（

2

），f（

3

），f（2），f（3）的符號(hào)，即可得到范圍．

解答： 解：雙曲線的c²=a²+b²，e₀=

c

a

，
雙曲線的漸近線方程為y=

b

a

x，
與圓x²+y²=c²聯(lián)立，解得M（a，b），
與雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1聯(lián)立，
解得交點(diǎn)N（

a2c2+a2b2

c

，

c4-a2c2-a2b2

c

），
即為N（

a 2c2-a2

c

，

c2-a2

c

），
直線MF₁與直線ON平行時(shí)，即有

b

a+c

=

c2-a2

a 2c2-a2

，
即（a+c）²（c²-a²）=a²（2c²-a²），
即有c³+2ac²-2a²c-2a³=0，
即有e₀³+2e₀²-2e₀-2=0，
令f（x）=x³+2x²-2x-2，
由于f（1）＜0，f（

2

）＞0，f（

3

）＞0，f（2）＞0，f（3）＞0，
則由零點(diǎn)存在定理可得，e₀∈（1，

2

）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查兩直線平行的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．