Question

15．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，曲線C₂的參數(shù)方程是  $\left\{\begin{array}{l}x=m+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（t為參數(shù)，0≤α＜π），射線θ=φ，θ=φ+$\frac{π}{4}$，θ=φ-$\frac{π}{4}$（與曲線C₁交于極點(diǎn)O外的三點(diǎn)A，B，C．
（1）求證：|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（2）當(dāng)φ=$\frac{π}{12}$時(shí)，B，C兩點(diǎn)在曲線C₂上，求m與α的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），|OC|=4cos（φ$-\frac{π}{4}$），利用和差公式展開可得|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$×4cosφ，即可證明．
（2）當(dāng)φ=$\frac{π}{12}$時(shí)，B$（2，\frac{π}{3}）$，C$（2\sqrt{3}，-\frac{π}{6}）$．化為直角坐標(biāo)B$（1，\sqrt{3}）$，C$（3，-\sqrt{3}）$．可得直線BC的方程，又曲線C₂是經(jīng)過點(diǎn)（m，0），且傾斜角為α的直線，即可得出．

解答 （1）證明：由題意可得：|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），|OC|=4cos（φ$-\frac{π}{4}$），
∴|OB|+|OC|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（φ$-\frac{π}{4}$）=8cosφ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$×4cosφ=$\sqrt{2}$|OA|．
∴|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|．
（2）解：當(dāng)φ=$\frac{π}{12}$時(shí)，B$（2，\frac{π}{3}）$，C$（2\sqrt{3}，-\frac{π}{6}）$．化為直角坐標(biāo)B$（1，\sqrt{3}）$，C$（3，-\sqrt{3}）$．
∴直線BC的方程為：$y-\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{-2}$（x-1），化為y=-$\sqrt{3}（x-2）$，
曲線C₂是經(jīng)過點(diǎn)（m，0），且傾斜角為α的直線，
∴m=2，tanα=-$\sqrt{3}$，解得$α=\frac{2π}{3}$．
∴m=2，$α=\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．