Question

已知函數(shù)，y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（I ）要使f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（II）當a＞0時，若函數(shù)f（x）的極小值和極大值分別為1、，試求函數(shù)y=f（x）的解析式；
III 若x∈[0，1]時，y=f（x）圖象上任意一點處的切線傾斜角為θ，當≤θ≤．時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導函數(shù)f′（x），要使f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，只需x∈（0，1）時，f′（x）＞0恒成立，然后轉(zhuǎn)化成 恒成立，即可求出a的范圍；
（II）由（I）中導函數(shù)的解析式，我們易求出函數(shù)取極值時x的值，然后根據(jù)函數(shù)f（x）的極小值和極大值分別為1、，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程后即可求出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（III）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知tanθ=f′（x），然后根據(jù)傾斜角為θ的范圍求出f′（x）的范圍在x∈[0，1]恒成立，將a分離出來，使之恒成立即可求出a的范圍．
解答：解：（I）f′（x）=-3x²+2ax，
由題設(shè)，當x∈（0，1）時，f′（a）＞0恒成立，
即-3x²+2ax＞0恒成立，
∴恒成立，
∴
（II）由（I）得，令f′（x）=-3x²+2ax=0
則x=0，或x=
又∵a＞0時，函數(shù)f（x）的極小值和極大值分別為1、，
故f（0）=1，f（）=
解得a=1，b=1
∴f（x）=-x³+x²+1
（III）當x∈[0，1]時，tanθ=f′（x）=-3xh3+2ax
∵．∴0≤f'（x）≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1
在x∈[0，1]恒成立，由（1）知，當-3x²+2ax≥0時，，
由 恒成立，
又 ，∴
∴
點評：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用轉(zhuǎn)化與劃歸的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．