分析:解法1
(1)證明BD⊥EG,只需證明EG⊥平面BHD,證明DH⊥EG,BH⊥EG即可;
(2)先證明∠GMH是二面角G-DE-F的平面角,再在△GMH中,利用余弦定理,可求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值;
解法2
(1)證明EB,EF,EA兩兩垂直,以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EB,EF,EA分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,證明
•=0,可得BD⊥EG;
(2)由已知得
=(2,0,0)是平面DEF的法向量,求出平面DEG的法向量
=(1,-1,1),利用向量的夾角公式,可求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值.
解答:解法1
(1)證明:∵EF⊥平面AEB,AE?平面AEB,∴EF⊥AE,
又AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF?平面BCFE,
∴AE⊥平面BCFE.…(2分)
過(guò)D作DH∥AE交EF于H,則DH⊥平面BCFE.
∵EG?平面BCFE,
∴DH⊥EG.…(4分)
∵AD∥EF,DH∥AE,∴四邊形AEHD平行四邊形,
∴EH=AD=2,
∴EH=BG=2,又EH∥BG,EH⊥BE,
∴四邊形BGHE為正方形,
∴BH⊥EG,…(6分)
又BH∩DH=H,BH?平面BHD,DH?平面BHD,
∴EG⊥平面BHD.…(7分)
∵BD?平面BHD,
∴BD⊥EG.…(8分)
(2)解:∵AE⊥平面BCFE,AE?平面AEFD,∴平面AEFD⊥平面BCFE
由(1)可知GH⊥EF,∴GH⊥平面AEFD
∵DE?平面AEFD,∴GH⊥DE…(9分)
取DE的中點(diǎn)M,連接MH,MG
∵四邊形AEHD是正方形,∴MH⊥DE
∵M(jìn)H∩GH=H,MH?平面GHM,GH?平面GHM,∴DE⊥平面GHM,∴DE⊥MG
∴∠GMH是二面角G-DE-F的平面角,…(12分)
在△GMH中,
GH=2,MH=,MG=,∴
cos∠GMH==…(13分)
∴平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值為
.…(14分)
解法2
(1)證明:∵EF⊥平面AEB,AE?平面AEB,BE?平面AEB,∴EF⊥AE,EF⊥BE,
又AE⊥EB,∴EB,EF,EA兩兩垂直.…(2分)
以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EB,EF,EA分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(xiàn)(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0).…(4分)
∴
=(2,2,0),
=(-2,2,2),…(6分)
∴
•=-2×2+2×2=0,…(7分)
∴BD⊥EG.…(8分)
(2)解:由已知得
=(2,0,0)是平面DEF的法向量.…(9分)
設(shè)平面DEG的法向量為
=(x,y,z),
∵
=(0,2,2),=(2,2,0),
∴
,即
,令x=1,得
=(1,-1,1).…(12分)
設(shè)平面DEG與平面DEF所成銳二面角的大小為θ,
則
cosθ=|cos<,>|===…(13分)
∴平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值為
.…(14分)