在三棱錐S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=數(shù)學(xué)公式，SA=SC=2，，二面角S-AC-B的余弦值是數(shù)學(xué)公式，若S、A、B、C都在同一球面上，則該球的表面積是


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    24
  4. D.
    6π
D
分析：由AB⊥BC，得△ABC的外接圓的圓心O′為AC中點(diǎn)，連接SO′，BO′，可證OO′⊥底面ABC，將平面SO′B取出，求出SB，作SB的中垂線，過O′作BO′的垂線，兩者必相交于O，用余弦定理，求得cos∠O′BS，從而可知D，E，O三點(diǎn)重合了
，可得外接圓的半徑，即可求得球的表面積．
解答：由AB⊥BC，得△ABC的外接圓的圓心O′為AC中點(diǎn)，連接SO′，BO′，由SA=SC和AB=BC有SO′⊥AC，BO′⊥AC
而四面體外接球的球心O在平面SO′B內(nèi)，連接OO′，有OO′⊥底面ABC
將平面SO′B取出，則BO′=1，SO′=
用余弦定理可得cos∠SO′B=
∴SB=
作SB的中垂線，過O′作BO′的垂線，兩者必相交于O，用余弦定理，cos∠O′BS=
如圖，BE=O′B÷cos∠O′BS==
也就是D，E，O三點(diǎn)重合了
外接圓的半徑R=OB=
∴球的表面積是4πR2=6π
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查面面角，考查球的表面積，解題的關(guān)鍵是確定外接圓的半徑，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為邊長為1的等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）證明：SA⊥BC；
（Ⅲ）求三棱錐S-ABC的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
3
．

（Ⅰ）求證SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面幾何中，推導(dǎo)三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
2S
l
（其中l(wèi)是三角形的周長，S是三角形的面積），常用如下方法（如右圖）：
①以內(nèi)切圓的圓心O為頂點(diǎn)，將三角形ABC分割成三個(gè)小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教網(wǎng)C．
②設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
得S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
lr，則r=
2S
l
．
類比上述方法，請(qǐng)給出四面體內(nèi)切球半徑的計(jì)算公式（不要求說明類比過程），并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=AB=BC=AC=
2
SB=
2
SC，O為BC中點(diǎn)．
（1）求證：SO⊥平面ABC
（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為
15
5
？若存在，確定E點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SC⊥平面SAB，SA⊥BC，側(cè)面△SAB，△SBC，△SAC的面積分別為1，
3
2
，3，則此三棱錐的外接球的表面積為（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案