Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-bx+1．
（Ⅰ）若a＞0，不等式f（x）≥0的解集為A，1∉A，2∈A，求a+b的取值范圍；
（Ⅱ）若a為整數(shù)，b=a+2，且函數(shù)f（x）在（-2，-1）上恰有一個零點，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)g（x）=lnx+x+2+f′（x）對任意的x∈（1，+∞），有（x+1）g（x）+
x²-2x+k＞0恒成立，求實數(shù)k的最小值．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)的零點

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由題意可得不等式組

a＞0 a-b+1＜0 4a-2b+1≥0

，利用線性規(guī)劃求解；
（Ⅱ）注意討論a是否是0，進而討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得到（4a+2a+4+1）（a+a+2+1）＜0，從而求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，函數(shù)g（x）=lnx+x+2+f′（x）=lnx-x+1，從而化（x+1）g（x）+x²-2x+k＞0為k＞-[（x+1）g（x）+x²-2x]，令F（x）=-[（x+1）g（x）+x²-2x]=2x-xlnx-lnx-1，從而求函數(shù)的最值，進而求實數(shù)k的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，

a＞0 a-b+1＜0 4a-2b+1≥0

，
作出其平面區(qū)域如下，

由

b=a+1 b=2a+ 1 2

解得，a=

1

2

，b=

3

2

，
故a+b＞

1

2

+

3

2

=2，
（Ⅱ）若a=0，則f（x）=ax²-bx+1=-2x+1=0，
解得x=

1

2

，不成立；
若a≠0，則

a+2

2a

=

1

2

+

1

a

，則又∵a為整數(shù)，
∴

1

2

+

1

a

∈[-

1

2

，

1

2

）或

1

2

+

1

a

∈（

1

2

，

3

2

]，
則函數(shù)f（x）在（-2，-1）上單調(diào)，
故若使函數(shù)f（x）在（-2，-1）上恰有一個零點，
則f（-2）•f（-1）＜0，
即（4a+2a+4+1）（a+a+2+1）＜0，
解得-

3

2

＜a＜-

5

6

，
故a=-1．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，f′（x）=-2x-1，
則g（x）=lnx+x+2+f′（x）=lnx-x+1，
（x+1）g（x）+x²-2x+k＞0可化為
k＞-[（x+1）g（x）+x²-2x]，
令F（x）=-[（x+1）g（x）+x²-2x]
=2x-xlnx-lnx-1，
則F′（x）=2-x•

1

x

-lnx-

1

x

=1-lnx-

1

x

，且F′（1）=0，
F″（x）=-

1

x

+

1

x2

=

1-x

x2

＜0，
故F′（x）=2-x•

1

x

-lnx-

1

x

在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
故F′（x）＜F′（1）=0，
故F（x）在在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
故當x∈（1，+∞），F(xiàn)（x）＜F（1）=1，
故k≥1，則實數(shù)k的最小值為1．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，同時考查了恒成立問題及線性規(guī)劃問題，屬于難題．