Question

在直角坐標(biāo)平面上，O為原點(diǎn)，M為動點(diǎn)，，．過點(diǎn)M作MM₁⊥軸于M₁，過N作NN₁⊥軸于點(diǎn)N₁，．記點(diǎn)T的軌跡為曲線C，點(diǎn)A（5，0）、B（1，0），過點(diǎn)A作直線交曲線C于兩個不同的點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在A與P之間）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）證明不存在直線，使得；
（Ⅲ）過點(diǎn)P作軸的平行線與曲線C的另一交點(diǎn)為S，若，證明．

Answer 1

（Ⅰ）曲線C的方程： （2）同解析 （3）同解析 

（1）解：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則M₁的坐標(biāo)為
  ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為       
∴N₁的坐標(biāo)為      ∴   
由有   
∴     由此得                          
由有
∴     即，即為所求的方程．曲線C為橢圓．  
（2）證：點(diǎn)A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與橢圓C無交點(diǎn)，所以直線斜率存在，并設(shè)為．直線的方程為．     
由方程組    得     
依題意，得．             
當(dāng)時，設(shè)交點(diǎn)，PQ的中點(diǎn)為R，則
，        
∴                      
又BR⊥
       
但不可能成立，所以不存在直線使得．  
（3）證明：由題有S，．
則有方程組                          
由（1）得：
將（2）、（5）代入（3）有
整理并將（4）、（5）代入得  
易知，解得                                        
因，故，，
∴
∴．