Question

1．已知：數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=2{a}_{n-1}+_{n-1}}\\{_{n}=3{a}_{n-1}+4_{n-1}}\end{array}\right.$（n≥2）且a₁=2，b₁=3，求a_n，b_n的通項公式．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=2{a}_{n-1}+_{n-1}}\\{_{n}=3{a}_{n-1}+4_{n-1}}\end{array}\right.$（n≥2）且a₁=2，b₁=3，可得a₂=7，b₂=18．變形可得：${a}_{n}=\frac{2}{3}_{n}-\frac{5}{3}_{n-1}$，當n≥3時，${a}_{n-1}=\frac{2}{3}_{n-1}-\frac{5}{3}_{n-2}$．代入可得：b_n-b_n-1=5（b_n-1-b_n-2）．利用等比數(shù)列的前n項和公式可得：b_n-b_n-1=3×5^n-1．再利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁可得b_n，進而得到a_n．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=2{a}_{n-1}+_{n-1}}\\{_{n}=3{a}_{n-1}+4_{n-1}}\end{array}\right.$（n≥2）且a₁=2，b₁=3，
∴a₂=7，b₂=18，a₃=32，b₃=93．
變形可得：3a_n-2b_n=3b_n-1-8b_n-1=-5b_n-1，∴${a}_{n}=\frac{2}{3}_{n}-\frac{5}{3}_{n-1}$，
∴當n≥3時，${a}_{n-1}=\frac{2}{3}_{n-1}-\frac{5}{3}_{n-2}$．
∴b_n=2b_n-1-5b_n-2+4b_n-1，
變形為：b_n-b_n-1=5（b_n-1-b_n-2）．
∴數(shù)列{b_n-b_n-1}（n≥2）是等比數(shù)列，首項為15，公比為5，
∴b_n-b_n-1=15×5^n-2=3×5^n-1．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=3（5^n-1+5^n-2+…+5）+3
=$3×\frac{5（{5}^{n-1}-1）}{5-1}$+3
=$\frac{3×{5}^{n}-3}{4}$．
∴當n≥2時，a_n=$\frac{2}{3}×\frac{3×{5}^{n}-3}{4}$-$\frac{5}{3}×\frac{3×{5}^{n-1}-3}{4}$=$\frac{{5}^{n}+3}{4}$．
當n=1時上式也成立．
∴a_n=$\frac{{5}^{n}+3}{4}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“累加求和”方法、遞推關系的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．