Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=

1

2

AD．
（Ⅰ）求證：CD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分別以AB、AD、AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CD⊥PC．
（Ⅱ）分別求出平面PAD的一個(gè)法向量和平面PCD的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD，
又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PA⊥底面ABCD，
又∵∠BAD=90°，
∴AB、AD、AP兩兩垂直，
分別以AB、AD、AP為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD=2，則由題意得A（0，0，0），B（1，0，0），
C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
∴

PC

=(1，1，-1)，

CD

=(-1，1，0)，
∴

PC

•

CD

=0，
∴CD⊥PC．
（Ⅱ）解：∵AB、AD、AP兩兩垂直，∴AB⊥平面PAD，
∴

AB

=(1，0，0)是平面PAD的一個(gè)法向量，
設(shè)平面PCD的法向量

n

=(x，y，z)，
∵

CD

=(-1，1，0)，

PD

=(0，2，-1)，
∴

n • CD =-x+y=0 n • PD =2y-z=0

，
取x=1，得到

n

=（1，1，2），
設(shè)二面角A-PD-C的大小為θ，由圖形知θ為銳角，
∴cosθ=|cos＜

AB

，

n

＞|=|

1

6 ×1

|=

6

6

，
∴二面角A-PD-C的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．