若函數(shù)f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；  ②對于定義域上的任意x1，x2，當(dāng)x1≠x2時，恒有
f(x1)-f(x2) 
x1-x2
＜0，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)中：
（1）f（x）=
1
x
   
（2）f（x）=x2  
（3）f（x）=
2x-1
2x+1
 
（4）f（x）=
-x2   x≥0
x2    x＜0
，
能被稱為“理想函數(shù)”的有
（4）
（4）
（填相應(yīng)的序號）．
分析：先理解已知兩條性質(zhì)反映的函數(shù)性質(zhì)，①f（x）為奇函數(shù)，②f（x）為定義域上的單調(diào)減函數(shù)，由此意義判斷題干所給四個函數(shù)是否同時具備兩個性質(zhì)即可
解答：解：依題意，性質(zhì)①反映函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)，性質(zhì)②反映函數(shù)f（x）為定義域上的單調(diào)減函數(shù)，
（1）f（x）=
1
x
 為定義域上的奇函數(shù)，但不是定義域上的單調(diào)減函數(shù)，其單調(diào)區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），故排除（1）；
（2）f（x）=x2 為定義域上的偶函數(shù)，排除（2）；
（3）f（x）=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
，定義域?yàn)镽，由于y=2x+1在R上為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，排除（3）；
（4）f（x）=
-x2   x≥0
x2    x＜0
的圖象如圖：顯然此函數(shù)為奇函數(shù)，且在定義域上為減函數(shù)，故（4）為理想函數(shù)
故答案為 （4）
點(diǎn)評：本題主要考查了抽象表達(dá)式反映的函數(shù)性質(zhì)，對新定義函數(shù)的理解能力，奇函數(shù)的定義，函數(shù)單調(diào)性的定義，基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及其判斷方法，復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷方法
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）同時滿足①有反函數(shù)；②是奇函數(shù)；③定義域與值域相同．則f（x）的解析式可能是（　�。�
A、f（x）=-x3
B、f（x）=x3+1
C、f（x）=
ex+e-x
2
D、f（x）=lg
1-x
1+x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）同時滿足下列三個性質(zhì)：
①最小正周期為π；
②圖象關(guān)于直線x=
π
3
對稱；
③在區(qū)間[-
π
6
，
π
3
]上是增函數(shù)．
則y=f（x）的解析式可以是（　　）
A、y=sin（2x-
π
6
）
B、y=sin（
x
2
+
π
6
）
C、y=cos（2x-
π
6
）
D、y=cos（2x+
π
3
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（-x）+f（x）=0；②對于定義域上的任意x1，x2，當(dāng)x1≠x2時，恒有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”，給出下列四個函數(shù)中：
①f（x）=2x
②f（x）=-
1
x

③f（x）=log2x2
④f（x）=
ex-1
ex+1

⑤f（x）=
-x2(x＜0)
x2(x≥0)

能被稱為“理想函數(shù)”的有
①④⑤
①④⑤
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）同時滿足以下兩個條件：①f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；②在f（x）的定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]．則稱函數(shù)f（x）為“自強(qiáng)”函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=2x-1是否為“自強(qiáng)”函數(shù)？若是，則求出a，b若不是，說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=
2x-1
+t是“自強(qiáng)”函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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