【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.

(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;

2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證: 為定值;

3)判斷數(shù)列中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)不存在

【解析】試題分析:(1)依據(jù)題設(shè)探求出,再運(yùn)用等比數(shù)列的定義進(jìn)行推證;(2)借助等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式分別求出, ,然后再求其比值;(3)假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的三項(xiàng),然后運(yùn)用假設(shè)進(jìn)行分析推證,找出矛盾,從而斷定不存在假設(shè)的三項(xiàng):

解:(1)當(dāng)時(shí), ,解得.

當(dāng)時(shí), ,即.

因?yàn)?/span>,所以,從而數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以.

(2)因?yàn)?/span>,所以

故數(shù)列是以4為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,

從而, ,

所以.

(3)假設(shè)中存在第項(xiàng)成等差數(shù)列,

,即.

因?yàn)?/span>,且,所以.

因?yàn)?/span>,

所以,故矛盾,

所以數(shù)列中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列.

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