Question

已知四面體ABCD，∠ADB=∠CDB=120°，且平面ABD⊥平面BCD．
（Ⅰ）若AD=CD，求證：BD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角B-CD-A的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件能推導(dǎo)出△ADB≌△CDB，從而得到AC⊥平面BDM，由此能夠證明AC⊥BD．
（Ⅱ）過點(diǎn)A作AH⊥BD交BD延長線于H，過H作HG⊥CD于G，連結(jié)GA，由三垂線定理推導(dǎo)出∠AGH為二面角A-CD-H的平面角，由此能求出二面角B-CD-A的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：∵AD=DC，∠ADB=∠CDB=120°，BD=BD，
∴△ADB≌△CDB，∴AB=BC，
取AC中點(diǎn)M，則MB⊥AC，DM⊥AC，
∴AC⊥平面BDM，
∵BD?平面BDM，
∴AC⊥BD．（4分）
（Ⅱ）解：過點(diǎn)A作AH⊥BD交BD延長線于H，
過H作HG⊥CD于G，連結(jié)GA，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴AH⊥平面BCD，∴AH⊥CD
根據(jù)三垂線定理知，
∠AGH為二面角A-CD-H的平面角，
由已知可知∠ADH=60°，
設(shè)AD=2a，則AH=

3

a，HD=a，
在Rt△HDG中，∵∠HDG=60°，∴HG=

3

2

a，
∴tan∠AGH=2，
∴二面角B-CD-A的正切值為-2．（10分）
注：用空間向量做，酌情給分．

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．