設函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）記曲線在點（其中）處的切線為，與軸、軸所圍成的三角形面積為，求的最大值

解：（Ⅰ）由已知，
所以，                                         ……………2分
由，得，                               ……………3分
所以，在區(qū)間上，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；                     ……………4分
在區(qū)間上，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；                     ……………5分
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（Ⅱ）因為，
所以曲線在點處切線為：.       ……………7分
切線與軸的交點為，與軸的交點為， ……………9分
因為，所以，  ……………10分
，                                          ……………12分
在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減.
……………13分
所以，當時，有最大值，此時，
所以，的最大值為.                                      ……………14分

解析

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設函數(shù)，其中，為正整數(shù)，、、均為常數(shù)，曲線在處的切線方程為.

（1）求、、的值；

（2）求函數(shù)的最大值；

（3）證明：對任意的都有.（為自然對數(shù)的底）

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年江西省七校高三上學期第一次聯(lián)考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，其中a>0.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若直線是曲線的切線，求實數(shù)a的值；

（Ⅲ）設，求在區(qū)間上的最大值（其中e為自然對的底數(shù)）。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年浙江省高三12月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（滿分１5分）設函數(shù)，，（其中為自然底數(shù)）；

（Ⅰ）求（）的最小值；

（Ⅱ）探究是否存在一次函數(shù)使得且對一切恒成立；若存在，求出一次函數(shù)的表達式，若不存在，說明理由；

（Ⅲ）數(shù)列中，，，求證：。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：陜西省模擬題 題型：解答題

已知，函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．  
（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；  
（2）設，當時，若對任意，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年四川省成都市模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù)， .(Ⅰ)設，求函數(shù)的最值；（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

【解析】第一問中，當時，，．結(jié)合表格和導數(shù)的知識判定單調(diào)性和極值，進而得到最值。

第二問中，∵，，      

∴原不等式等價于：,

即, 亦即

分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍

解：（Ⅰ)當時，，．

當在上變化時，，的變化情況如下表：

 

－

＋

 

1／e

∴時，，．

(Ⅱ)∵，，      

∴原不等式等價于：,

即, 亦即．

∴對于任意的，原不等式恒成立,等價于對恒成立,

∵對于任意的時, （當且僅當時取等號）．

∴只需，即，解之得或.

因此，的取值范圍是

 

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