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已知橢圓mx2+ny2=1,直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q兩點,且OP⊥OQ,|PQ|=
10
2
,求橢圓的方程.
依題意,點P(x1,y1)、Q(x2,y2)的坐標滿足方程組
mx2+ny2=1
y=x+1
,
化為(m+n)x2+2nx+n-1=0,
x1+x2=-
2n
m+n
,x1x2=
n-1
m+n

OQ
OP
得x1x2+y1y2=0,∴x1x2+(x1+1)(x2+1)=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,
2(n-1)
m+n
-
2n
m+n
+1=0
,化為m+n=2.
又由|PQ|=
10
2
,∴
10
2
=
2[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2[(
-2n
m+n
)2-
4(n-1)
m+n
]
,
把m+n=2代入整理為4n2-8n+3=0,解得n=
3
2
1
2

當n=
3
2
時,m=
1
2
;當n=
1
2
時,m=
3
2

故所求橢圓方程為
x2
2
+
3y2
2
=1
,或
3x2
2
+
y2
2
=1
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

橢圓C1的焦點在x軸上,中心是坐標原點O,且與橢圓C2
x2
12
+
y2
4
=1
的離心率相同,長軸長是C2長軸長的一半.A(3,1)為C2上一點,OA交C1于P點,P關于x軸的對稱點為Q點,過A作C2的兩條互相垂直的動弦AB,AC,分別交C2于B,C兩點,如圖.

(1)求橢圓C1的標準方程;
(2)求Q點坐標;
(3)求證:B,Q,C三點共線.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
6
3
,短軸一個端點到右焦點的距離為
3

(1)求橢圓C的方程;
(2)設直線l與橢圓C交于A、B兩點,以AB弦為直徑的圓過坐標原點O,試探討點O到直線l的距離是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,說明理由.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

橢圓mx2+ny2=1與直線y=1-x交于M、N兩點,過原點與線段MN中點的直線的斜率為
2
2
,則
m
n
的值為( 。
A.
2
2
B.
2
2
3
C.
9
2
2
D.
2
3
27

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線y2=4x的焦點為F.過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,直線AF,BF分別與拋物線交于點M,N.
(Ⅰ)求y1y2的值;
(Ⅱ)記直線MN的斜率為k1,直線AB的斜率為k2.證明:
k1
k2
為定值.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線的兩條漸近線方程是y=x和y=-x,且過點D(
2
,
3
)
.l1,l2是過點P(-
2
,0)
的兩條互相垂直的直線,且l1,l2與雙曲線各有兩個交點,分別為A1,B1和A2,B2
(1)求雙曲線的方程;
(2)求l1斜率的范圍
(3)若|A1B1|=
5
|A2B2|
,求l1的方程.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過F且斜率為
3
直線與拋物線在x軸上方的交點為M,過M作y軸的垂線,垂足為N,O為坐標原點,若四邊形OFMN的面積為4
3

(1)求拋物線的方程;
(2)若P,Q是拋物線上異于原點O的兩動點,且以線段PQ為直徑的圓恒過原點O,求證:直線PQ過定點,并指出定點坐標.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

AB是過C:y2=4x焦點的弦,且|AB|=10,則AB中點的橫坐標是______.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(文科)一動圓過定點P(0,1),且與定直線l:y=-1相切.
(1)求動圓圓心C的軌跡方程;
(2)若(1)中的軌跡上兩動點記為A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-16.
①求證:直線AB過一定點,并求該定點坐標;
②求|PA|+|PB|的取值范圍.

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