已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且x≥0時,f(x)=(
1
2
x,函數(shù)f(x)的值域為集合A.
(Ⅰ)求f(-1)的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=
-x2+(a-1)x+a
的定義域為集合B,若A⊆B,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)題目給出函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且給出x≥0時的解析式,則f(1)可求,由偶函數(shù)的性質(zhì)可求f(-1)的值;
(Ⅱ)由x得范圍求出f(x)的值域,由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求出定義域,再由A⊆B結(jié)合數(shù)軸可求a的取值范圍.
解答:解:(I)∵函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),
∴f(-1)=f(1).
又x≥0時,f(x)=(
1
2
)x

∴f(1)=
1
2

則f(-1)=
1
2

(II)由函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),可得函數(shù)f(x)的值域A即為
x≥0時的f(x)的取值集合.
當x≥0時,0<(
1
2
)x≤1

故函數(shù)f(x)的值域A=(0,1].
∵g(x)=
-x2+(a-1)x+a

∴定義域B={x|-x2+(a-1)x+a≥0}.
由-x2+(a-1)x+a≥0,得
x2-(a-1)x-a≤0,
即 (x-a)(x+1)≤0.
∵A⊆B,

∴B=[-1,a]且a≥1.
∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}.
點評:本題考查了函數(shù)的定義域及其求法,考查了集合間的關(guān)系及其應(yīng)用,訓練了含字母的一元二次不等式的解法,是基礎(chǔ)題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x+2-x
2
,g(x)=
2x-2-x
2
,
(1)計算:[f(1)]2-[g(1)]2
(2)證明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域為(0,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.
(3)設(shè)O為坐標原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點,橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標原點).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)圖象上的兩點,且x1+x2=1.
(1)求證:y1+y2為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn;
(3)在(2)的條件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn為數(shù)列{an}的前n項和.求Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是( 。

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