求證：（1+x）n+（1-x）n＜2n，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．
證明：由于|x|＜1，n≥2，n∈N．
當n=2時，（1+x）2+（1-x）2=2+2x2＜4=22，當n=2時成立
假設n=k時成立，即（1+x）k+（1-x）k＜2k成立
當n=k+1時，則：（1+x）k+1+（1-x）k+1=（1+x）k×（1+x）+（1-x）k×（1-x）=（1+x）k+x（1+x）k+（1-x）k-x（1-x）k＜2k+x[（1+x）k-（1-x）k]
=2k+x（2Ck1x+2Ck3x3+…）=2k+（2Ck1+2Ck3+…）=2k+2k=2k+1，
故當n=k+1時，不等式也成立
綜上知：（1+x）n+（1-x）n＜2n，其中|x|＜1，n≥2，n∈N成立
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已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2+lnx．
（I）已知α是方程xf（x）-
1
2
x3=2009的根，β是方程xex=2009的根，求α•β的值．
（II）求證：在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）圖象在函數(shù)g（x）=
2
3
x3圖象的下方；
（Ⅲ）設函數(shù)h（x）=f′（x），求證：[h（x）]n+2≥h（xn）+2n．

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