已知φ(x)=
a
x+1
,a
為正常數(shù).(e=2.71828…);
(理科做)(1)若f(x)=lnx+φ(x),且a=
9
2
,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值與最小值
(2)若g(x)=|lnx|+φ(x),且對任意x1,x2∈(0,2],x1≠x2都有
g(x2)-g(x1)
x2-x1
<-1
,求a的取值范圍.
(文科做)(1)當a=2時描繪?(x)的簡圖
(2)若f(x)=?(x)+
1
?(x)
,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值與最小值.
分析:(理科)(1)本小題需要先求出函數(shù)f(x)=lnx+
9
2(x+1)
的導函數(shù)f′(x)=
1
x
-
9
2(x+1)2
=
2x2-5x+2
2x(x+1)2
,然后得出單調區(qū)間,利用單調性來求出函數(shù)的最大和最小值,屬于基本題目;
(2)本題函數(shù)g(x)=|lnx|+φ(x)含有絕對值號,考慮到去掉絕對值較為繁瑣,也不可行,因此采用整體上處理,即構造一個新的函數(shù)來結合單調性求解,由已知
g(x2)-g(x1)
x2-x1
<-1
,可以變形為
g(x2)+x2-[g(x1)+x1]
x2-x1
<0
,因此構造函數(shù)ω(x)=g(x)+x,
ω(x)=|lnx|+x+
a
x+1
,(a>0,x∈(0,2]),然后求解.
(文科)(1)本題的函數(shù)圖象簡圖的作法可以利用圖象變換來做,考查函數(shù)φ(x)=
2
x+1
與函數(shù)y=
2
x
的圖象之間的關系來作出;
(2)由已知求得函數(shù)的導函數(shù),利用單調性求出函數(shù)的最大(小)值來方法同(理科)(1)類似..
解答:解:(理科)(1)∵f(x)=lnx+
9
2(x+1)
(x>0)

f′(x)=
1
x
-
9
2(x+1)2
=
2x2-5x+2
2x(x+1)2
(2分)
故當
1
2
<x<2
時,f'(x)<0,即f(x)單調遞減,從而x∈[1,2)時,f(x)單調遞減,
0<x≤
1
2
或x≥2
時,f'(x)≥0,即f(x)單調遞增,從而x∈[2,e]時,f(x)單調遞增,(4分)
fmin(x)=f(2)=ln2+
3
2
,又f(1)=
9
4
>f(e)=1+
9
2(e+1)
,故fmax=f(1)=
9
4

(2)由
g(x2)-g(x1)
x2-x1
<-1可知
g(x2)+x2-[g(x1)+x1]
x2-x1
<0

所以可設ω(x)=g(x)+x=|lnx|+x+
a
x+1
(a>0,x∈(0,2])
…(8分)
故由題設可知ω(x)在x∈(0,2]上為減函數(shù),
ω′=
1
x
+1-
a
(x+1)2
,1≤x≤2
-
1
x
+1-
a
(x+1)2
,0<x<1
…(10分)
而 由
1
x
+1-
a
(x+1)2
<0(1≤x≤2)
可得a>x2+3x+3+
1
x
(1≤x≤2)

y=x2+3x+3+
1
x
在x∈[1,2]
上是增函數(shù),
a>
27
2

顯然當a>
27
2
且0<x<1時,-
1
x
+1-
a
(x+1)2
<0

a=
27
2
時,也成立,
所以a的取值范圍是[
27
2
,+∞)…(14分)

(文科)(1)由已知φ(x)=
2
x+1
,其圖象是由反比例函數(shù)圖象y=
2
x
的圖象向左平行移動1個單位長度所得到,如圖:

(2)由已知f(x)=
a
x+1
+
x+1
a
     (a>0)
,于是有f′(x)=
a
(x+1)2
+
1
a
=
a2+(x+1)2
a(x+1)2
,顯然f′(x)>0在[1,e]上恒成立,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上為增函數(shù),
所以fmax=f(e)=
a
e+1
+
e+1
a
fmin=f(1)=
a
2
+
2
a
點評:本題考查了函數(shù)的導數(shù)及其應用,利用導數(shù)求最大(小)值,利用導數(shù)以及結合給定的函數(shù)的單調區(qū)間求解參數(shù)的范圍,另外考查了函數(shù)的圖象的畫法,綜合考查了數(shù)形結合思想,分類思想,函數(shù)與方程的思想,構造函數(shù)解決問題的思想.
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