已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a≠0）滿足f(0)=0，對于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(+x)=f(-x)，令g(x)=f(x)-|λx-1|（λ＞0）。
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；
(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)研究函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上的零點個數(shù)。

解：（1）∵f(0)=0，
∴c=0，
∵對于任意x∈R都有，
∴函數(shù)f(x)的對稱軸為，即，得a=b，
又f(x)≥x，即對于任意x∈R都成立，
∴a＞0，且，　　　　
∵，
∴b=1，a=1，　　　　
∴。
（2），
①當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，
若，即0＜λ≤2，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增；
若，即λ＞2，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，　
則函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)0＜λ≤2時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； 
當(dāng)時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和．
（3）①當(dāng)0＜λ≤2時，由(2)知函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，　　　　　
又，　　　　　
故函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上只有一個零點；
②當(dāng)λ＞2時，則，而，　　　　
，
（�。┤�2＜λ≤3，由于，
且，
此時，函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上只有一個零點；
（ⅱ）若λ＞3，由于且＜0，
此時，函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上有兩個不同的零點；
綜上所述，當(dāng)0＜λ≤3時，函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上只有一個零點；當(dāng)λ＞3時，函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上有兩個不同的零點．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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