Question

敘述并證明勾股定理．

Answer 1

分析：勾股定理的內(nèi)容為：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達(dá)哥拉斯定理或畢氏定理．它有不同的證明方法，這里我們用面積法來(lái)證明．

解答：證明：如圖 左邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形和1個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形以及4個(gè)直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形拼成的．右邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形和4個(gè)直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形拼成的．因?yàn)檫@兩個(gè)正方形的面積相等（邊長(zhǎng)都是a+b），所以可以列出等式a2+b2+4×

1

2

ab=c2+4×

1

2

ab，化簡(jiǎn)得a²+b²=c²．






下面是一個(gè)錯(cuò)誤證法：

解：勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達(dá)哥拉斯定理或畢氏定理
證明：作兩個(gè)全等的直角三角形，
設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b＞a），斜邊長(zhǎng)為c．
再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形．
把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上．

過點(diǎn)Q作QP∥BC，交AC于點(diǎn)P．
過點(diǎn)B作BM⊥PQ，垂足為M；
再過點(diǎn)F作FN⊥PQ，垂足為N．
∵∠BCA=90°，QP∥BC，
∴∠MPC=90°，
∵BM⊥PQ，
∴∠BMP=90°，
∴BCPM是一個(gè)矩形，即∠MBC=90°．
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，
∴∠QBM=∠ABC，
又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，
∴Rt△BMQ≌Rt△BCA．
同理可證Rt△QNF≌Rt△AEF．即a²+b²=c²

點(diǎn)評(píng)：勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理．所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．這個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(guó)（希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等）對(duì)此定理都有所研究．故大家要熟練掌握他的內(nèi)容及證明方法．