Question

設(shè)f（x）=x•（2^x-2^-xt），（x∈R）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的值為________．

Answer 1

1
分析：法一f（x）=x•（2^x-2^-xt）為偶函數(shù)可得f（-x）=f（x）對任意的x都成立，代入可求t
法二：由f（x）=x•（2^x-2^-xt）為偶函數(shù)可得f（-x）=f（x）對任意的x都成立，則f（-1）=f（1）成立，代入可求t
法三：由f（x）=x•（2^x-2^-xt）為偶函數(shù)可得g（x）=2^x-t•2^-x為奇函數(shù)，則g（-x）=-g（x）對任意的x都成立，代入可求t
法四：由f（x）=x•（2^x-2^-xt）為偶函數(shù)可得g（x）=2^x-t•2^-x，為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得g（0）=0，代入可求t
解答：法一∵f（x）=x•（2^x-2^-xt），（x∈R）為偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x）對任意的x都成立
∴-x（2^-x-t•2^x）=x（2^x-t•2^-x）
整理可得，（1-t）（2^x-2^-x）=0
∴1-t=0
∴t=1
故答案為1
法二：∵f（x）=x•（2^x-2^-xt），（x∈R）為偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x）對任意的x都成立
∴f（-1）=f（1）
-（2^-1-2t）=2-
即
∴t=1
故答案為1
法三：∵f（x）=x•（2^x-2^-xt），（x∈R）為偶函數(shù)
設(shè)h（x）=x，g（x）=2^x-t•2^-x，由h（x）為奇函數(shù)可得g（x）為奇函數(shù)
∴g（-x）=-g（x）對任意的x都成立
∴2^-x-t•2^x=-2^x+t•2^-x對任意的x都成立
∴（1-t）（2^x-2^-x）=0
∴t=1
故答案為1
法四：∵f（x）=x•（2^x-2^-xt），（x∈R）為偶函數(shù)
設(shè)h（x）=x，g（x）=2^x-t•2^-x，由h（x）為奇函數(shù)可得g（x）為奇函數(shù)
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得g（0）=0
∴2⁰-2⁰t=0
∴t=1
故答案為1
點(diǎn)評：本題主要考察了函數(shù)的奇偶性的定義及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用，解答本題中要注意奇函數(shù)中f（0）=0及兩個奇函數(shù)相乘的結(jié)果為偶函數(shù)等結(jié)論的應(yīng)用．