Question

如圖，四面體ABCD中，E為AD中點(diǎn)，若AC=CD=DA=8，AB=BD=5，BC=7，求BE與CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：取AC中點(diǎn)F，連結(jié)BF、EF，由三角形中位線定理證出∠BEF（或補(bǔ)角）就是BE與CD所成角．利用解三角形的知識(shí)，算出△BEF中的各邊長，利用余弦定理加以計(jì)算，即可得到BE與CD所成角的余弦值．

解答：解：取AC中點(diǎn)F，連結(jié)BF、EF
∵EF為△ACD的中位線，
∴EF

∥

.

1

2

CD，可得∠BEF（或補(bǔ)角）就是BE與CD所成角
∵△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8．
∴中線BF滿足4BF²+AC²=2（BC²+AB²），即4BF²+64=2（49+25），
解之得BF=

21

∵△ABD中，AB=BD=5，DA=8
∴BE=

AB2-AE2

=

25-16

=3
在△BEF中，cos∠BEF=

BE2+EF2-BF2

2•BE•EF

=

1

6

即BE與CD所成角的余弦值等于

1

6

．

點(diǎn)評：本題在特殊三棱錐中求異面直線所成角的余弦．著重考查了三角形中位定理、解三角形和異面直線所成角的定義及其求法等知識(shí)，屬于中檔題．