Question

如圖，四棱錐的底面為正方形，側(cè)面底面．為等腰直角三角形，且．，分別為底邊和側(cè)棱的中點(diǎn)．

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）所以二面角的余弦值為．

試題分析：（1）求證：∥平面，證明線面平行，首先證明線線平行，可用三角形的中位線平行，也可用平行四邊形的對(duì)邊平行，注意到是的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，則所以是△的中位線，證得四邊形是平行四邊形，從而得∥，從而可證∥平面；（2）求證：平面，可用空間向量法，注意到平面平面，，可以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意設(shè)，則的各點(diǎn)坐標(biāo)，從而得，，，利用數(shù)量積得，，從而得證；（Ⅲ）求二面角的余弦值，由（2）建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)平面的法向量為，求出一個(gè)法向量，由（2）可知平面的法向量是，利用向量的夾角公式，即可求得二面角的余弦值．
試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連接，.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042556498302.png" style="vertical-align:middle;" />，分別是，的中點(diǎn)，
所以是△的中位線. 所以∥，且．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042556483318.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，且底面為正方形，
所以，且∥.所以∥，且．
所以四邊形是平行四邊形．所以∥．
又平面，平面，所以平面．                 4分

（2）證明：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042556982460.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
，且平面平面，
所以平面．
所以，．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042556997526.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以，
所以兩兩垂直.
以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）． 
由題意易知，   設(shè)，則
，，，，,,．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042557107644.png" style="vertical-align:middle;" />，，，
且，
所以，．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042558199365.png" style="vertical-align:middle;" />，相交于，所以平面．          9分

（3）易得，．
設(shè)平面的法向量為，則
，所以 即
令，則．
由（2）可知平面的法向量是，
所以 .
由圖可知，二面角的大小為銳角，
所以二面角的余弦值為．          14分