Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

；
（3）記T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-2，利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，由點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和法能求出

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

．
（3）由T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．利用錯(cuò)位相減法能求出T_n．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），即a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，∴

an

an-1

=2，(n≥2，n∈N*)，
∴即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．…（2分）
∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴an=2n．…（3分）
∵點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，∴b_n+1-b_n=2．
即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₁，∴b_n=2n-1．…（6分）
（2）∵

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．…（9分）
（3）T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n
=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．①
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，…（11分）
∴-T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．