Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為 （θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．
（I）當(dāng)m=3時(shí)，判斷直線(xiàn)l與C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)C上有且只有一點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離等于 時(shí)，求C上到直線(xiàn)l距離為2 的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】解：（I）圓C的普通方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2， ∴圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑r= ．
m=3時(shí)，直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3=0．
∴圓心C到直線(xiàn)l的距離d= = ＜r．
∴直線(xiàn)l與圓C相交．
（II）直線(xiàn)l的普通方程為x+y﹣m=0．
∵C上有且只有一點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離等于 ，
∴直線(xiàn)l與圓C相離，且圓心到直線(xiàn)的距離為 ．
∴圓C上到直線(xiàn)l的距離等于2 的點(diǎn)在過(guò)圓心C（1，1）且與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)上．
∴過(guò)圓心C（1，1）且與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)的參數(shù)方程為： （t為參數(shù)）．
將： （t為參數(shù)）代入圓C的普通方程得t2=2，
∴t1= ，t2=﹣ ．
當(dāng)t= 時(shí)， ，當(dāng)t=﹣ 時(shí)， ．
∴C上到直線(xiàn)l距離為2 的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），（2，0）
【解析】（I）將曲線(xiàn)方程化成直角坐標(biāo)方程，計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離與圓的半徑比較大小得出結(jié)論；（II）由題意可知直線(xiàn)與圓相離，且圓心到直線(xiàn)l的距離為2 ，故到直線(xiàn)l的距離等于2 的點(diǎn)在過(guò)圓心且與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)上，求出此直線(xiàn)的參數(shù)方程代入圓的方程求出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，得出該點(diǎn)的坐標(biāo)．