Question

已知F₁、F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左焦點和右焦點，O是坐標系原點，且橢圓C的焦距為6，過F₁的弦AB兩端點A、B與F₂所成△ABF₂的周長是12

2

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是橢圓C上不同的兩點，線段PQ的中點為M（2，1），求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）由焦距可求得c值，由△ABF₂的周長是12

2

可得a值，再由a²=b²+c²即可求得b值；
（2）平方差法：把點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）坐標代入橢圓方程作差，可求得直線PQ的斜率，利用點斜式即可求得直線方程；

解答：解：（1）設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的焦距為2c，
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的焦距為2，∴2c=6，即c=3，
又∵F₁、F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左焦點和右焦點，且過F₁的弦AB兩端點A、B與F₂所成△ABF₂的周長是12

2

．
∴△ABF₂的周長=AB+（AF₂+BF₂）=（AF₁+BF₁）+（AF₂+BF₂）=4a=12

2

，解得a=3

2

，
又∵a²=b²+c²，∴b²=18-9=9，
∴橢圓C的方程是

x2

18

+

y2

9

=1；
（2）∵點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是橢圓C上不同的兩點，
∴

x12

18

+

y12

9

=1，

x22

18

+

y22

9

=1．
以上兩式相減得：

x12- x 2 2

18

+

y12- y 2 2

9

=0，
即x12-

x

2 2

+2(y12-

y

2 2

)=0，(x1-

x

2

)(x1+

x

2

)+2(y1-

y

2

)(y1+

y

2

)=0，
∵線段PQ的中點為M（2，1），∴x1+

x

2

=4， y1+

y

2

=2．
∴4(x1-

x

2

)+4(y1-

y

2

)=0，
當x₁=x₂，由上式知，y₁=y₂則P，Q重合，與已知矛盾，因此x₁≠x₂，
∴

y1- y   2

x1- x   2

=-1，即直線PQ的斜率為-1，
∴直線PQ的方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓標準方程的求解，考查方程思想，凡涉及弦中點問題均可考慮平方差法解決．