Question

如圖，在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°．以點(diǎn)B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑的半圓交AC于D點(diǎn)，則cos∠ABD的值等于________．

Answer 1

分析：在三角形ABC中，利用余弦定理得到AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC，將AB，BC及∠ABC的度數(shù)代入，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，求出AC的長(zhǎng)，再由AB及BD的長(zhǎng)，求出AE及AF的長(zhǎng)，利用割線定理求出AD的長(zhǎng)，在三角形ABD中，由AB，BD及AD的長(zhǎng)，利用余弦定理即可求出cos∠ABD的值．
解答：解：在△ABC中，∠ABC=120°，AB=2，BC=1，
由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=5-4×（-）=7，
解得：AC=，
又AB=2，BC=BE=1，∴AE=AB-BE=2-1=1，AF=AE+EF=1+2=3，
∴由割線定理得到：AD•AC=AE•AF，即AD==，
在△ABD中，AB=2，BD=1，AD=，
由余弦定理得：cos∠ABD==．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，割線定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．