Question

過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作直線m交拋物線于點(diǎn)A、B，則△AOB是（　　）

• A、直角三角形
• B、銳角三角形
• C、鈍角三角形
• D、不確定

Answer 1

分析：①當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為y=k（x-1），聯(lián)立不平為線方程可得k²x²-x（2k²+4）+k²=0．即可利用韋達(dá)定理得到

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²，
所以

OA

•

OB

=-3＜0．②可得

OA

•

OB

=-3＜0．由以上即可得到答案．

解答：解：①拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為y=k（x-1），代入y²=4x，
得k²x²-x（2k²+4）+k²=0．
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
根據(jù)韋達(dá)定理，有x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²，
所以

OA

•

OB

=-3＜0，
所以∠AOB為鈍角，則△AOB是鈍角三角形．
②當(dāng)斜率不存在時(shí)，A（1，2），B（1，-2），所以可得

OA

•

OB

=-3＜0，
所以∠AOB為鈍角，則△AOB是鈍角三角形．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的方程與性質(zhì)，在涉及直線與圓錐曲線問(wèn)題時(shí)，設(shè)直線方程的時(shí)候一定要考慮到斜率不存在的情況；并且解決此類問(wèn)題的方法一般是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程借助于韋達(dá)定理解決問(wèn)題，此類題目屬于中檔題型．